已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．（1）如图①，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出

Question

已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．

（1）如图①，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）．
（2）如图②，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE=x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若BD=2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F，另一条直角边交射线AB于点E．设CF=x（x＞1），重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）S四边形AEDF＝(9)/(4)．

（2）过点D作DM⊥AB，垂足为点M，y＝(1)/(2)BE•DM＝(1)/(2)(3−x)•(3)/(2)＝(3)/(4)（3-x）（0≤x≤3且x≠(3)/(2)）．
（3）①如图①，连接AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，N．
∵AB=AC=3，∠BAC=90°，
∴BC=3√(2)．
∵BD=2CD，
∴BD=2√(2)，CD=√(2)．
易得DN=1，DM=2，
易证∠EDM=∠FDN，
∵∠DME=∠DNF=90°，
∴△DME∽△DNF．
∴(ME)/(FN)＝(DM)/(DN)．
∴ME=2（x-1）．
∴AE=2（x-1）+1=2x-1．
∴y＝S△ADE+S△ADF＝(1)/(2)(2x−1)•2+(1)/(2)(3−x)•1＝(3)/(2)x+(1)/(2)(1＜x≤2)．
②如图③，过点D作AC的垂线，垂足为N，
∵AB=AC=3，∠BAC=90°，
∴BC=3√(2)．
∵BD=2CD，
∴BD=2√(2)，CD=√(2)．
易得DN=1，
∴y＝S△ABC−S△CDF＝(9)/(2)−(1)/(2)x•1＝(9)/(2)−(1)/(2)x(2＜x≤3)．
∴y＝

(3)/(2)x+(1)/(2)	(1＜x≤2)
(9)/(2)−(1)/(2)x	(2＜x≤3)