一个直角三角形的斜边上一点将斜边分成8厘米和10厘米,而从这一点分别引出与该三角形的两直角边垂直的线段,正好与两直角边形成正方形,求该三角形除掉此正方形部分后的面积.

Question

一个直角三角形的斜边上一点将斜边分成8厘米和10厘米,而从这一点分别引出与该三角形的两直角边垂直的线段
,正好与两直角边形成正方形,求该三角形除掉此正方形部分后的面积.

Answer 1

设三角形ABC中角C=90度,D分接连两段分别为AD=8,BD=10,
DE垂直AC于E,DF垂直BC于F,因为DECF为正方形,所以DE=DF
易得三角形ADE相似于三角形DBF,AE：DF=AD：DB=8：10=4：5
所以AE：DE=4：5,又三角形AED相似于三角形ACB,所以AC：BC=4：5
设AC=4x,则BC=5x,所以（4x)^2+(5x)^2=18^2,
x^2=324/41,三角形ABC面积为1/2（4x）（5x)=10x^2=3240/41
从AE：DF=4：5得AE：EC=4：5
∴EC=5/9AC=20/9x
正方形面积为EC^2=400/81x^2=(400×324)/(41×81)
阴影部分面积=3240/41-(400×324)/(41×81)=3240/81=40