如图①，平面直角坐标系XOY中，若A（0，a）、B（b，0）且（a-4）2+b-1=0，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB=90°，AB=AC．（1）求C点坐标；（2）如图②过C点作CD

Question

如图①，平面直角坐标系XOY中，若A（0，a）、B（b，0）且（a-4）²+ √(b-1)=0，以AB为直角边作等腰Rt_△ABC，∠CAB=90°，AB=AC．

（1）求C点坐标；
（2）如图②过C点作CD⊥X轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；
（3）如图③在（1）中，点A在Y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交Y轴于F，试问A点在运动过程中S_△AOB：S_△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请直接写出它们的比值___（不需要解答过程或说明理由）．

Answer 1

（1）作CM⊥OA于M，如图①所示：
则∠CMA=∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，
∵（a-4）²+√(b-1)=0，
∴a-4=0，b-1=0，
∴a=4，b=1，
∴OA=4，OB=1，
∵∠CAB=90°，
∴∠OAB+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠ABO，
在△CAM和△ABO中，

∠CMA=∠AOB

∠CAM=∠ABO

AC=BA

，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴MC=OA=4，MA=OB=1，
∴OM=OA+MA=5，
∴C点坐标为（4，5）；
（2）∵CD⊥x轴，∴D（4，0），
∴OD=OA，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴∠ADO=45°，
∴∠ADC=90°-45°=45°；
（3）A点在运动过程中S_△AOB：S_△AEF的值不会发生变化，S_△AOB：S_△AEF=2；理由如下：
作CM⊥OA于M，如图③所示：
同（1）得：△CAM≌△ABO，
∴MC=OA=a，MA=OB=b，
∴C点坐标为（a，a+b），
∵△OAE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=a，
∴E（-a，a），
设直线CE的解析式为y=kx+c，
把点C和E的坐标代入得：

ak+c=a+b

-ak+c=a

，
解得：

k=(b)/(2a)

c=(2a+b)/(2)

，
当x=0时，y=(2a+b)/(2)，
∴F（0，(2a+b)/(2)），
∴OF=(2a+b)/(2)，
∴AF=OF-OA=(b)/(2)，
∵S_△AOB=(1)/(2)ab，
S_△AEF=(1)/(2)a×(1)/(2)b=

作业帮用户 2018-01-21

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