如图，以等腰直角△ABC的直角边AC作等边△ACD，CE⊥AD于E，BD、CE交于点F．（1）求∠DFE的度数；（2）求证：AB=2DF．

Question

如图，以等腰直角△ABC的直角边AC作等边△ACD，CE⊥AD于E，BD、CE交于点F．

（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：AB=2DF．

Answer 1

（1）∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=60°+90°=150°，
∵BC=CD
∴∠BDC=(1)/(2)（180°-150°）=15°，
∴∠ADE=60°-15°=45°，
∴∠DFE=180°-∠DEF-∠EDF=45°，
（2）∵CE⊥AD，∠DFE=45°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACB∽△DEF，
∴(DE)/(AC)=(DF)/(AB)=(1)/(2)，
∴AB=2DE．