已知△ABC中，∠B是锐角．从顶点A向BC边或其延长线作垂线，垂足为D；从顶点C向AB边或其延长线作垂线，垂足为E．当2BDBC和2BEAB均为正整数时，△ABC是什么三角形？并证明你的结论．

Question

已知△ABC中，∠B是锐角．从顶点A向BC边或其延长线作垂线，垂足为D；从顶点C向AB边或其延长线作垂线，垂足为E．当(2BD)/(BC)和(2BE)/(AB)均为正整数时，△ABC是什么三角形？并证明你的结论．

Answer 1

答：△ABC是等边三角形，等腰直角三角形，顶角为120°的等腰三角形．
证明：设(2BD)/(BC)＝m，(2BE)/(AB)＝n，m，n均为正整数，则mn＝4•(BD)/(AB)•(BE)/(BC)＝4cos2B＜4，
∴mn=1，2，3．
（1）当mn=1时，cosB=(1)/(2)，
∴∠B=60°，此时m=n=1．
∴AD垂直平分BC，CE垂直平分AB，
∴△ABC是等边三角形．
（2）当mn=2时，cosB=(√(2))/(2)，
∴∠B=45°，此时m=1，n=2，或m=2，n=1，
∴点E与点A重合，或点D与点C重合．
∴∠BAC=90°，或∠BCA=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（3）mn=3时，cosB=(√(3))/(2)，
∴∠B=30°，此时m=1，n=3，或m=3，n=1．
∴AD垂直平分BC，或CE垂直平分AB．
∴∠ACB=30°，或∠BAC=30°，
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．