斐波那契数列从第二项开始,奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1求证明,

Question

斐波那契数列从第二项开始,奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
求证明,

Answer 1

a[1]=a[2]=1,a[n]=a[n-1]+[n-2],n≥3
由归纳法来证明,首先a[2]²=1=2-1=a[1]a[3]-1
a[3]²=4=3+1=a[2]a[4]+1,假设结论对＜2n时均成立,n≥2
则a[2n]²=(a[2n-1]+a[2n-2])²=a[2n-1]²+2a[2n-1]a[2n-2]+a[2n-2]²
=a[2n-1](a[2n-1]+a[2n-2])+a[2n-1]a[2n-2]+a[2n-3]a[2n-1]-1
=a[2n-1]a[2n]+a[2n-1](a[2n-2]+a[2n-3])-1
=a[2n-1]a[2n]+a[2n-1]²-1
=a[2n-1](a[2n]+a[2n-1])-1
=a[2n-1]a[2n+1]-1,∴a[2n]也成立,此时又可得
a[2n+1]²=(a[2n]+a[2n-1])²=a[2n]²+2a[2n]a[2n-1]+a[2n-1]²
=a[2n](a[2n]+a[2n-1])+a[2n]a[2n-1]+a[2n-2]a[2n]+1
=a[2n]a[2n+1]+a[2n](a[2n-1]+a[2n-2])+1
=a[2n]a[2n+1]+a[2n]²+1
=a[2n](a[2n+1]+a[2n])+1
=a[2n]a[2n+2]+1,∴a[2n+1]也成立
所以对一切n,结论均成立