设f(x)在(－∞,＋∞)内可导,证明:(1)若f(x)为偶函数,则f'(－x)为奇函数.(2)若f(x)为奇函数,则f'(－x)为偶函数.

Question

设f(x)在(－∞,＋∞)内可导,证明:
(1)若f(x)为偶函数,则f'(－x)为奇函数.
(2)若f(x)为奇函数,则f'(－x)为偶函数.

Answer 1

证：
1).f(x)为偶函数 －＞ f(x) = f( -x )
因f(x)在(－∞,＋∞)内可导,两边同时求导得：
f'(x)=-f'(-x),
f'(-x)=-f'(-(-x))
即：f'(－x)为奇函数.
2).f(x)为奇函数 －＞ f(x) = －f( -x )
因f(x)在(－∞,＋∞)内可导,两边同时求导得：
f'(x)=f'(-x),
f'(-x)=f'(-(-x))
即：f'(－x)为偶函数.
注：
f(x)为偶函数 ＜＝＞ f(x) = f( -x )
f(x)为奇函数 ＜＝＞ f(x) = －f( -x )