已知抛物线C：，点A、B在抛物线C上.（1）若直线AB过点M（2p，0），且=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；（2）设直线OA、OB的倾斜角分别为，且，问直线AB是否会过

Question

已知抛物线C： ，点A、B在抛物线C上.

（1）若直线AB过点M（2p，0），且 =4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；
（2）设直线OA、OB的倾斜角分别为 ，且 ，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由.

Answer 1

（1） ；（2）过定点

试题分析：（1）当直线 斜率不存在时方程为 ，与 的交点分别为M ，N ，弦长 。此时 中 ， ， 边的中线长为 ,所以 是直角三角形，过 三点的圆的圆心为 边的中点 ，半径为 ，则可得此圆的标准方程。（2）设点 ，为了省去对斜率存在与否的讨论可设直线AB的方程为： 。将直线与抛物线方程联立，消去 整理为关于 的一元二次方程，可得根与系数的关系。根据 用正切的两角和公式展开可得关于 两点坐标 间的关系。根据两关系式可得 与 间的关系，故此可判断直线 是否过定点。
试题解析：（1）直线 与抛物线 的两个交点坐标分别是：M ，N ，弦长 ，故三角形ABO是 ，所以过A，B，O三点的圆方程是：
（2）设点 ，直线AB的方程为： ，它与抛物线相交，由方程组 消去x可得 ，故 ， ，
这样，tan
即1= ，所以 ，所以直线AB的方程可以写成为：

作业帮用户 2017-11-08

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