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(2006•宿迁)如图,抛物线y=-x2+x-2与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C.(1)求证:△AOC∽△COB;(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D.若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动,同时
题目详情
(2006•宿迁)如图,抛物线y=-x2+x-2与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C.
(1)求证:△AOC∽△COB;
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D.若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动,同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动,则经过几秒后,PQ=AC.
(1)求证:△AOC∽△COB;
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D.若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动,同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动,则经过几秒后,PQ=AC.
▼优质解答
答案和解析
(1)可先根据抛物线的解析式求出A,B,C的坐标,然后看OA,OC,OB是否对应成比例即可;
(2)根据抛物线的对称性可知:AC=BD,四边形ABDC为等腰梯形,那么本题可分两种情况进行求【解析】
①当四边形APQC是等腰梯形,即四边形PQDB是平行四边形时,AC=PQ,那么QD=PB,可据此来求t的值.
②当四边形ACQP是平行四边形时,AC=PQ,那么此时AP=CQ,可据此求出t的值.
【解析】
(1)在抛物线y=-x2+x-2上,
令y=0时,即-x2+x-2=0,
得x1=1,x2=4
令x=0时,y=-2
∴A(1,0),B(4,0),C(0,-2)(3分)
∴OA=1,OB=4,OC=2
∴,
∴
又∵∠AOC=∠BOC
∴△AOC∽△COB;
(2)设经过t秒后,PQ=AC.
由题意得:AP=DQ=t,
∵A(1,0)、B(4,0)
∴AB=3
∴BP=3-t
∵CD∥x轴,点C(0,-2)
∴点D的纵坐标为-2
∵点D在抛物线y=-x2+x-2上
∴D(5,-2)
∴CD=5
∴CQ=5-t
①当AP=CQ,即四边形APQC是平行四边形时,PQ=AC.
t=5-t,t=2.5
②连接BD,当DQ=BP,即四边形PBDQ是平行四边形时,PQ=BD=AC.
t=3-t,t=1.5,
所以,经过2.5秒或1.5秒时,PQ=AC.
(2)根据抛物线的对称性可知:AC=BD,四边形ABDC为等腰梯形,那么本题可分两种情况进行求【解析】
①当四边形APQC是等腰梯形,即四边形PQDB是平行四边形时,AC=PQ,那么QD=PB,可据此来求t的值.
②当四边形ACQP是平行四边形时,AC=PQ,那么此时AP=CQ,可据此求出t的值.
【解析】
(1)在抛物线y=-x2+x-2上,
令y=0时,即-x2+x-2=0,
得x1=1,x2=4
令x=0时,y=-2
∴A(1,0),B(4,0),C(0,-2)(3分)
∴OA=1,OB=4,OC=2
∴,
∴
又∵∠AOC=∠BOC
∴△AOC∽△COB;
(2)设经过t秒后,PQ=AC.
由题意得:AP=DQ=t,
∵A(1,0)、B(4,0)
∴AB=3
∴BP=3-t
∵CD∥x轴,点C(0,-2)
∴点D的纵坐标为-2
∵点D在抛物线y=-x2+x-2上
∴D(5,-2)
∴CD=5
∴CQ=5-t
①当AP=CQ,即四边形APQC是平行四边形时,PQ=AC.
t=5-t,t=2.5
②连接BD,当DQ=BP,即四边形PBDQ是平行四边形时,PQ=BD=AC.
t=3-t,t=1.5,
所以,经过2.5秒或1.5秒时,PQ=AC.
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