（2014•宿迁一模）已知点A（-1，0），F（1，0），动点P满足AP•AF＝2|FP|．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）在直线l：y=2x+2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N．问：是否存

Question

（2014•宿迁一模）已知点A（-1，0），F（1，0），动点P满足

AP

•

AF

＝2|

FP

|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）在直线l：y=2x+2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N．问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设P（x，y），则
∵点A（-1，0），F（1，0），动点P满足

AP

•

AF

＝2|

FP

|，
∴（x+1，y）•（2，0）=2√((x−1)2+y2)，
∴2（x+1）=2√((x−1)2+y2)，
∴y²=4x；
（2）直线l方程为y=2（x+1），设Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
过点M的切线方程设为x-x₁=m（y-y₁），代入y²=4x，
得y2−4my+4my1−y12=0，
由△=16m2−16my1+4y12＝0，得m＝(y1)/(2)，
所以过点M的切线方程为y₁y=2（x+x₁），
同理过点N的切线方程为y₂y=2（x+x₂）．
所以直线MN的方程为y₀y=2（x₀+x），
又MN∥l，所以(2)/(y0)＝2，得y₀=1，
而y₀=2（x₀+1），
故点Q的坐标为（−(1)/(2)，1）．