已知:如图,D为AB边上一点,S△ACD:S△BCD=2:3,CD⊥AC,cos∠DCB=4：5,且AC+CD=18,求tanA,AB的长

Question

已知:如图,D为AB边上一点,S△ACD:S△BCD=2:3,CD⊥AC,cos∠DCB=4：5,且AC+CD=18,求tanA,AB的长

Answer 1

（1）作 CE⊥AB 交AB于E
∵△ABC中,DC⊥AC交AB于D,若S△ACD：S△CDB＝2：3,COS∠DCB＝4/5＝0.8
∴△ACD为直角三角形,有S△ACD＝1/2×CE×AD,S△CDB＝1/2×CE×BD
SIN∠DCB＝3/5＝0.6
∴(1/2×CE×AD)：(1/2×CE×BD)＝2：3
∴AD：BD＝2：3
又∵AD＋BD＝AB
∴BD：AB＝3：5；AD：AB＝2：5
∵∠CDB＝180°－∠ADC＝∠A＋∠ACD＝∠A＋90°
∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB
∴sin∠CDB＝sin(∠A＋90°)＝cosA
sin∠ACB＝sin(90°＋∠DCB)＝cos∠DCB
∴根据正弦定理,有
在△ABC中,BC/sinA＝AB/sin∠ACB
在△BCD中,BC/sin∠CDB＝BD/sin∠DCB
∴AB×sinA/sin∠ACB＝BD×sin∠CDB/sin∠DCB
∴AB×sinA/cos∠DCB＝BD×cosA/sin∠DCB
∴tanA＝sinA/cosA
＝BD×cos∠DCB/（AB×sin∠DCB）
＝(BD/AB)×0.8/0.6＝3/5×0.8/0.6
＝0.8
故 tanA＝0.8
（2）∵AC＋CD＝36,tanA＝CD/AC＝0.8
∴CD＝0.8AC
∴CD＝16,AC＝20
∴AD＝√ (16 ^2＋20 ^2)＝4√ 41
∵AD：AB＝2：5
∴AB＝5/2×AD＝5/2×4√ 41＝10√ 41
故 AB＝10√ 41