如图，棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝．(Ⅰ)求点C到平面PBD的距离．(Ⅱ)在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，指出点Q

Question

如图，棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝．

(Ⅰ)求点C到平面PBD的距离．

(Ⅱ)在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，

若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

　　(Ⅰ)在Rt△BAD中，AD＝2，BD＝，

　　∴AB＝2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC．(1分)

　　∵PA＝AB＝AD＝2，∴PB＝PD＝BD＝(2分)

　　设C到面PBD的距离为d，由，

　　有，

　　即，(4分)

　　得(5分)

　　(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系

　　因为在上，所以可设，(6分)

　　又，

　　

　　，．(8分)

　　易求平面的法向量为，(10分，应有过程)

　　所以设与平面所成的角为，则有：

　　(12分)

　　所以有，，，(13分)

　　所以存在且(14分)