如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．（1）求证：∠1=∠CAD；（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．

Question

如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．

（1）求证：∠1=∠CAD；（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD+∠CAD=90°，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠1=∠BDO，∴∠1=∠CAD；

（2）∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，∴△CAD∽△CDE，

∴CD：CA=CE：CD，∴CD²=CA•CE，∵AE=EC=2，∴AC=AE+EC=4，∴CD=2，

设⊙O的半径为x，则OA=OD=x，则Rt△AOC中，OA²+AC²=OC²，

∴x²+4²=（2+x）²，解得：x=．∴⊙O的半径为．