如图I，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC边于点E，BD平分∠ABE交AC于F，交O于点D，且∠BDE=∠CBE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）延长ED交直线AB于点P，如图2，若PA=AO，DE=3，求PDDE的值及AO的长

Question

如图I，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC边于点E，BD平分∠ABE交AC于F，交O于点D，且∠BDE=∠CBE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）延长ED交直线AB于点P，如图2，若PA=AO，DE=3，求(PD)/(DE)的值及AO的长．

Answer 1

（1）证明：如图1中，连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∵∠A=∠D=∠EBC，
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）如图2中，连接OD、BE．
∵BD平分∠ABE，
∴D 是

AE

的中点，
∴OD⊥AE，∵AE⊥BE，
∴BE∥OD，
∵PA=OA=OB，
∴OP=2OB，
∴(PD)/(DE)=(OP)/(OB)=(2)/(1)，
∴PD=2DE=6，
∵△PDB∽∠PAF，
∴(PA)/(PD)=(PE)/(PB)，
∴PD•PE=PA•PA，
∴3OB²=54，
∴OB=OA=3√(2)．