如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）求证：△APQ∽△BCP；（2）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（3）取CQ的中点M

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．

（1）求证：△APQ∽△BCP；
（2）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（3）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

Answer 1

（1）证明：由翻转变换的性质可知，∠QPC=∠D=90°，
∴∠APQ+∠BPC=90°，又∠BCP+∠BPC=90°，
∴∠APQ=∠BCP，又∠A=∠B=90°，
∴△APQ∽△BCP；
（2）由翻转变换的性质可知，CP=CD=5，QD=QP，
∴BP=√(PC2-CB2)=4，
∴AP=1，
设AQ=x，DQ=QP=3-x，
由勾股定理得，（3-x）²=x²+1，
解得，x=(4)/(3)，即AQ的长为(4)/(3)；
（3）作EM⊥DC于M，延长EM交AB于F，则MF⊥AB，
∵∠QPC=∠QDC=90°，M是CQ的中点，
∴DM=(1)/(2)QC，PM=(1)/(2)QC，
∴MQ=MP，
∵∠DMP=∠MED=∠MFP=90°，
∴∠MDE=∠PMF，
在△MED和△PFM中，

∠MDE=∠PMF

∠MED=∠PFM

MD=MP

，
∴△MED≌△PFM，
∴DE=MF，
∴DE+EM=MF+ME=BC=3，
设EM=x，则DE=3-x，DQ=2x，
由DM=(1)/(2)QC得，√(x2+(3-x)2)=(1)/(2)×√(52+4x2)，
解得，x₁=(1)/(2)，x₂=(11)/(2)（舍去），
则DQ=2x=1，
∴AQ=AD-DQ=2．