重金酬谢!O为三角形ABC内任意点连接AO,BO,CO交三边于点D,E,F求证：BD/DC×CE/EO×OF/FB=1,

Question

重金酬谢!O为三角形ABC内任意点连接AO,BO,CO交三边于点D,E,F
求证：BD/DC ×CE/EO ×OF/FB=1,

Answer 1

BD/DC ×CE/EO ×OF/FB=1,这个结论是不是搞错了,应该是BD/DC ×CE/EA ×AF/FB=1.
这个是赛瓦定理.用面积法可以证明：（自己画图跟着分析）
BD/DC=S(△ABD)/S(△ACD)=S(△BOD)/S(△COD)=[S(△ABD)-S(△BOD)]/[S(△ACD)-S(△COD)]=S(△AOB)/S(△AOC)
同理可得CE/EA=S(△BOC)/ S(△AOB),AF/FB=S(△AOC)/S(△BOC),三式相乘,可得
BD/DC ×CE/EA ×AF/FB=1