如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．

Question

如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是______．

Answer 1

 作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．
取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，
∴AB=a，所以EB=√(a2−c2)，EF=√(a2−c2−1)，
所以几何体的体积为：(1)/(3)×2×√(a2−c2−1)×2c×(1)/(2)=(2)/(3)c√(a2−c2−1)．
故答案为：(2)/(3)c√(a2−c2−1)．