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如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.
题目详情
如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是______.
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▼优质解答
答案和解析
作BE⊥AD于E,连接CE,则AD⊥平面BEC,所以CE⊥AD,
由题设,B与C都是在以AD为焦点的椭圆上,且BE、CE都垂直于焦距AD,
AB+BD=AC+CD=2a,显然△ABD≌△ACD,所以BE=CE.
取BC中点F,∴EF⊥BC,EF⊥AD,要求四面体ABCD的体积的最大值,因为AD是定值,只需三角形EBC的面积最大,因为BC是定值,所以只需EF最大即可,
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大,∵AB+BD=AC+CD=2a,
∴AB=a,所以EB=
,EF=
,
所以几何体的体积为:
×2×
×2c×
=
c
.
故答案为:
c
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d788d43f8794a4c29ab235990df41bd5ac6e39eb.jpg)
由题设,B与C都是在以AD为焦点的椭圆上,且BE、CE都垂直于焦距AD,
AB+BD=AC+CD=2a,显然△ABD≌△ACD,所以BE=CE.
取BC中点F,∴EF⊥BC,EF⊥AD,要求四面体ABCD的体积的最大值,因为AD是定值,只需三角形EBC的面积最大,因为BC是定值,所以只需EF最大即可,
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大,∵AB+BD=AC+CD=2a,
∴AB=a,所以EB=
a2−c2 |
a2−c2−1 |
所以几何体的体积为:
1 |
3 |
a2−c2−1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
a2−c2−1 |
故答案为:
2 |
3 |
a2−c2−1 |
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