已知=（1-cosx，2sin），=（1+cosx，2cos），（1）若f（x）=2+sinx-|-|2，求f（x）的表达式；（2）若函数f(x)和函数g(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)的解析式；（3）若h（x）=g（x

Question

已知 =（1-cosx，2sin ）， =（1+cosx，2cos ），
（1）若f（x）=2+sinx- | - | ² ，求f（x）的表达式；
（2）若函数f (x)和函数g(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)的解析式；
（3）若h（x）=g（x）- f（x）+1在[- ， ]上是增函数，求实数 的取值范围。

Answer 1

已知 =（1-cosx，2sin ）， =（1+cosx，2cos ），
（1）若f（x）=2+sinx- | - | ² ，求f（x）的表达式；
（2）若函数f (x)和函数g(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)的解析式；
（3）若h（x）=g（x）- f（x）+1在[- ， ]上是增函数，求实数 的取值范围。

（1）f（x）=2+sinx-cos ² x-1+sinx=sin ² x+2sinx。
（2）设函数y=f (x)的图象上任一点M(x ₀ ，y ₀ )关于原点的对称点为N（x，y），
则x ₀ =-x，y ₀ =-y，
∵点M在函数y=f (x)的图象上，
∴-y=sin ² （-x）+2sin（-x），y=-sin ² x+2sinx ，
∴函数g(x)的解析式为g(x)=-sin ² x+2sinx 。
（3） ，
设sinx=t，(-1≤t≤1)
则 ，(-1≤t≤1)
①当 时，h(t)=4t+1在[-1，1]上是增函数，
∴λ=-1；
②当λ≠-1时，对称轴方程为直线 ，
ⅰ）当λ<-1时， ，解得λ<-1；
ⅱ）当λ>-1时， ，解得-1<λ≤0；
综上所述，λ的取值范围是λ≤0。