如图，长方形ABCD中，AB=x2+4x+3，设长方形面积为S．（1）若S长方形ABCD=2x+6，x取正整数，且长方形ABCD的长、宽均为整数，求x的值；（2）若S长方形ABCD=x2+8x+15，x取正整数，且长方形ABCD的长、

Question

如图，长方形ABCD中，AB=x²+4x+3，设长方形面积为S．

（1）若S_{长方形ABCD}=2x+6，x取正整数，且长方形ABCD的长、宽均为整数，求x的值；
（2）若S_{长方形ABCD}=x²+8x+15，x取正整数，且长方形ABCD的长、宽均为整数，求x的值；
（3）若S_{长方形ABCD}=2x³+ax²+bx+3，对于任意的正整数x，BC的长均为整数，求（a-b）²⁰¹⁵的值．

Answer 1

（1）∵AB=x²+4x+3，S_{长方形ABCD}=2x+6，
∴BC=(2x+6)/(x2+4x+3)=(2(x+3))/((x+3)(x+1))=(2)/(x+1)，
∵BC的长为整数，
∴x+1=1或2，
∴x=0或1，
∵x为正整数，
∴x=1；

（2）∵AB=x²+4x+3，S_{长方形ABCD}=x²+8x+15，
∴BC=(x2+8x+15)/(x2+4x+3)=((x+3)(x+5))/((x+3)(x+1))=(x+5)/(x+1)=1+(4)/(x+1)，
∵BC的长为整数，
∴x+1=1或2或4，
∴x=0或1或3，
∵x为正整数，
∴x=1或3；

（3）∵AB=x²+4x+3，S_{长方形ABCD}=2x³+ax²+bx+3，
∴BC=(2x3+ax2+bx+3)/(x2+4x+3)=mx+n，
即2x³+ax²+bx+3=（mx+n）（x²+4x+3），
∵（mx+n）（x²+4x+3）=mx³+（4m+n）x²+（3m+4n）x+3，
∴

m=2

a=4m+n

b=3m+4n

3=3n

，
∴

m=2

a=9

b=10

n=1

，
∴mx+n=2x+1，对于任意正整数x，其值均为整数，
∴（a-b）²⁰¹⁵=-1．