如图,点D是△ABC的边BC延长线上一点,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.(1)求证:∠BAC=2∠BEC；（2）求证：∠CAE+∠BEC=90°.

Question

如图,点D是△ABC的边BC延长线上一点,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.(1)求证
:∠BAC=2∠BEC；（2）求证：∠CAE+∠BEC=90°.

Answer 1

过点E作EM⊥BD于M,EN⊥BA的延长线于N,EG⊥AC于G
∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC,CE平分∠ACD
∴∠ECD＝∠ACD/2＝（∠BAC+∠ABC）/2
∵BE平分∠ABC
∴∠EBC＝∠ABC/2
∴∠ECD＝∠BEC+∠EBC＝∠BEC+∠ABC/2
∴∠BEC+∠ABC/2＝（∠BAC+∠ABC）/2
∴∠BEC＝∠BAC/2
∵CE平分∠ACD,EM⊥BD,EG⊥AC
∴EG＝EM
∵BE平分∠ABC,EM⊥BD,EN⊥BA
∴EN＝EM
∴EG＝EN
∴AE平分∠CAN
∴∠CAE＝∠CAN/2＝（180°-∠BAC）/2
∴∠CAE+∠BEC＝（180°-∠BAC）/2+∠BAC/2＝90°