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如图,从ABCD的顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F.求证:AB·AE+AD·AF=AC2.
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如图,从 ABCD的顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F.求证:AB·AE+AD·AF=AC 2 .
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▼优质解答
答案和解析
答案:
解析:
证明:作BG⊥AC于G,则 ∵∠3=∠3,∠BGA=∠CEA=, ∴△ABG∽△ACE. ∴=. ∴AC·AG=AB·AE.① 又∵BC∥AD,CF⊥AF, ∴∠1=∠2,∠CGB=∠CFA=, ∴△CBG∽△ACF. ∴=. ∴AC·CG=CB·AF② ①+②,得 AC2=AC(AG+CG)=AC·AG+AC·CG =AE·AB+AF·BC.
提示:
点悟:等式左边两项均为两线段之积,而右边为AC2,故应设法将AC2拆成两线段积的形式,而AC并不能表示成两条线段的比例中项,但AC2=AC(AG+GC)=AC·AG+AC·GC,只需AC·AG和AC·GC与左端两项分别相等即可(作BG⊥AC于G). 点拨:一般地,要证形如ab=cd+ef的线段关系,常常在a(或b)上取一点P,使ab化为两项和的形式,然后利用比例中的有关定理,在等式两边的对应项之间建立相等关系.
解析:
证明:作BG⊥AC于G,则 ∵∠3=∠3,∠BGA=∠CEA=, ∴△ABG∽△ACE. ∴=. ∴AC·AG=AB·AE.① 又∵BC∥AD,CF⊥AF, ∴∠1=∠2,∠CGB=∠CFA=, ∴△CBG∽△ACF. ∴=. ∴AC·CG=CB·AF② ①+②,得 AC2=AC(AG+CG)=AC·AG+AC·CG =AE·AB+AF·BC.
提示:
点悟:等式左边两项均为两线段之积,而右边为AC2,故应设法将AC2拆成两线段积的形式,而AC并不能表示成两条线段的比例中项,但AC2=AC(AG+GC)=AC·AG+AC·GC,只需AC·AG和AC·GC与左端两项分别相等即可(作BG⊥AC于G). 点拨:一般地,要证形如ab=cd+ef的线段关系,常常在a(或b)上取一点P,使ab化为两项和的形式,然后利用比例中的有关定理,在等式两边的对应项之间建立相等关系.
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