如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点E从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿边AC向终点C运动，E点出发的同时，点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BA向终点A运动，连结EF，将

Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点E从点A出发，以每秒√(5)个单位长度的速度沿边AC向终点C运动，E点出发的同时，点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BA向终点A运动，连结EF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，以EF、FG为边作正方形EFGH，设点F运动的时间为t秒（t>0）

（1）用含t的代数式表示点E到边AB的距离；
（2）当点G落在边AB上时，求t的值；
（3）连结BG，设△BFG的面积为S个平方单位（S>0），求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出正方形EFGH的顶点H，G分别与点A，C距离相等时的t值．

Answer 1

（1）如图1，过E作ED⊥AB于D，
由题意得：AE=√(5)t，
Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√(BC2+AB2)=√(22+42)=2√(5)，
sin∠A=(DE)/(AE)=(BC)/(AC)，
∴(DE)/(√(5)t)=(2)/(2√(5))，
∴DE=t，
则点E到边AB的距离是t；
（2）当点G落在边AB上时，如图2，此时EF⊥AB，
由（1）得：EF=t，
∵BF=2t，
∴AF=4-2t，
tan∠A=(BC)/(AB)=(EF)/(AF)=(2)/(4)=2，
∴(t)/(4-2t)=2，
t=(8)/(5)；
（3）如图3，过E作ED⊥AB于D，过G作GP⊥AB于P，
∵ED=t，AD=2t，BF=2t，
∴FD=4-4t，
易证△GPF≌△FDE，
∴GP=DF=4-4t，
∴S=S_△BPG=(1)/(2)BF•GP=(1)/(2)×2t×（4-4t）=-4t²+4t（0≤t≤2）；
（4）正方形EFGH的顶点H，G分别与点A，C距离相等时，如图4，此时E与C重合，F与A重合，
∴t=2．