sinx^4+cosx^4=1吗?求证明!

Question

sinx^4+cosx^4=1吗?求证明!

Answer 1

sinx^4+cosx^4
=(sin²x+cos²x)²-2sin²xcos²x
=1-2sin²xcos²x≤1
∴不是恒等的!
f（x）=sinx^6+cosx^6=[(sinx)^2+(cosx)^2]*[(sinx)^4-(sinx)^2*(cosx)^2+(cosx)^4]
=[(sinx)^4-(sinx)^2*(cosx)^2+(cosx)^4]
=[(sinx)^2+(cosx)^2]^2-3(sinx)^2*(cosx)^2
=[(sinx)^2+(cosx)^2]^2-3(sinxcosx)^2
=[(sinx)^2+(cosx)^2]^2-3/4*(2sinxcosx)^2
=1-3/4*(sin2x)^2
=1-3/4*(1-cos4x)*1/2
=1-3/8*(1-cos4x)
cos4x的最小正周期为2π/4
所以f（x）=sinx^6+cosx^6的最小正周期为2π/4=π/2
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