已知椭圆x^2/4+y^2=1,若M是椭圆上一点,且在y轴右侧,N为x轴上一点,∠OMN=90度,求点N横坐标最小值

Question

已知椭圆x^2/4+y^2=1,若M是椭圆上一点,且在y轴右侧,N为x轴上一点,∠OMN=90度,求点N横坐标最小值

Answer 1

答：
椭圆x²/4+y²=1,点M(a,b)为椭圆上y轴右侧的点
所以：a>0
所以：OM的斜率k=b/a
当点M在顶点（2,0）上时,x轴上不存在点N使得∠OMN=90°
所以：k=b/a不为0
所以：MN的斜率k=-1/(b/a)=-a/b
所以：MN直线为y-b=(-a/b)(x-a)
令y=0：-b=(-a/b)(x-a)
解得点N的横坐标x=a+b²/a
因为：a²/4+b²=1,b²=1-a²/4
所以：x=a+(1-a²)/(4a)=a+1/(4a)-a/4=(1/4)(3a+1/a)>=(1/4)*2√(3a*1/a)=√3/2
当且仅当3a=1/a即a=√3/3时取得最小值√3/2
所以：点N的横坐标最小值为√3/2