已知函数f(x)=x∧3-3x^2+ax+2曲线y=f(x)在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-21.求a2.证明当k＜1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点

Question

已知函数f(x)=x∧3-3x^2+ax+2曲线y=f(x)在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2 1.求a 2.证明当k＜1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点

Answer 1

1.函数的导数f′（x）=3x^2-6x+a；f′（0）=a；
则y=f（x）在点（0,2）处的切线方程为y=ax+2,
∵切线与x轴交点的横坐标为-2,
∴f（-2）=-2a+2=0,
解得a=1．
2.当a=1时,f（x）=x^3-3x^2+x+2,
设g（x）=f（x）-kx+2=x^3-3x^2+（1-k）x+4,
由题设知1-k＞0,
当x≤0时,g′（x）=3x^2-6x+1-k＞0,g（x）单调递增,g（-1）=k-1,g（0）=4,
则g（x）=0在（-∞,0]有唯一实根．
当x＞0时,令h（x）=x^3-3x^2+4,则g（x）=h（x）+（1-k）x＞h（x）．
则h′（x）=3x^2-6x=3x（x-2）在（0,2）上单调递减,在（2,+∞）单调递增,
∴在x=2时,h′（x）取得极小值h′（2）=0,
g（-1）=k-1,g（0）=4,
则g（x）=0在（-∞,0]有唯一实根．
∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0,
∴g（x）=0在（0,+∞）上没有实根．
综上当k＜1时,曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．