（2012•上海）如图，质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上．一电阻不计，质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形．棒与导轨间动摩擦因数为μ

Question

（2012•上海）如图，质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上．一电阻不计，质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形．棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱．导轨bc段长为L，开始时PQ左侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为R₀．以ef为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B．在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用于导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a．
（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；
（2）经过多少时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为多少？
（3）某一过程中回路产生的焦耳热为Q，导轨克服摩擦力做功为W，求导轨动能的增加量．

Answer 1

（1）对杆发电：E=BLv，
导轨做初速为零的匀加速运动，v=at，
E=BLat，
s=(1)/(2)at²
对回路：闭合电路欧姆定律：

I＝(BLV)/(R总)＝(BLat)/(R+2R0((1)/(2)at2))＝(BLat)/(R+R0at2)
（2）导轨受外力F，安培力F_A摩擦力f．其中
对杆受安培力：F_A=BIL=(B2L2at)/(R+R0at2)
F_f=μF_N=μ（mg+BIL）=μ（mg+(B2L2at)/(R+R0at2)）
由牛顿定律F-F_A-F_f=Ma
F=Ma+F_A+F_f=Ma+μmg+（1+μ）(B2L2at)/(R+R0at2)
上式中当：(R)/(t)=R₀at
即t=√((R)/(aR0))时，外力F取最大值，
F _max=Ma+μmg+(1)/(2)（1+μ）B²L²√((a)/(RR0))，
（3）设此过程中导轨运动距离为s，
由动能定理，W_合=△Ek     W_合=Mas．  
由于摩擦力F_f=μ（mg+F_A），
所以摩擦力做功：W=μmgs+μW_A=μmgs+μQ，
s=(W−μQ)/(μmg)，
△E_k=Mas=(W−μQ)/(μmg)Ma
答：（1）回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式E=BLat，I＝(BLat)/(R+R0at2)；
（2）经过√((a)/(RR0))时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为Ma+μmg+(1)/(2)（1+μ）B²L²√((a)/(RR0))，
（3）导轨动能的增加量为(W−μQ)/(μmg)Ma．