已知在直角坐标系中，抛物线y=ax2-8ax+3（a<0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；（2

Question

已知在直角坐标系中，抛物线y=ax²-8ax+3（a<0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．

（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；
（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；
（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=(1)/(2)∠ABD，求△ABG的面积．

Answer 1

（1）∵y=ax²-8ax+3=a（x-4）²+3-16a，
∴对称轴为x=4，B（4，0），A（0，3），
∴AB=5，
∵AB=BD，
∴BD=5，
∵抛物线的顶点为D，其对称轴交x轴于点B，
∴3-16a=BD=5，
∴a=-(1)/(8)，
∴y=(1)/(8)x²+x+3，
（2）∵B（4，0），A（0，3），
∴直线AB解析式为y=-(3)/(4)x+3，
∵DP∥AB，
设直线DP解析式为y=-(3)/(4)x+b，
∵D（4，5）在直线DP上，
∴b=8，
∴直线DP解析式为y=-(3)/(4)x+8，
由

y=-(3)/(4)x+8

y=-(1)/(8)x2+x+3

，
∴x₁=10，x₂=4（舍），
∴P（10，(1)/(2)）；
（3）如图

①以B为圆心，BA为半径作圆，交DB延长线于G₁，
∵BG=AB，
∴∠BAG₁=∠BG₁A，
∴∠AGB=(1)/(2)∠ABD，
∵AB=5，点G在对称轴BD上x=4，
∴G₁（4，-5），
∴S_△ABG1=(1)/(2)×BG₁×AH=(1)/(2)×5×4=10；
②以A为圆心，AG₁为半径作圆，交BD延长线于G₂，
过点A作AH⊥BD于H，
∴HG₂=HG₁=BH+BG₁=8，
∴BG₂=11，
∴G₂（4，11），
S_△ABG2=(1)/(2)×BG₂×AH=(1)/(2)×11×4=22；
即：S_△ABG=10或22，