如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=kx（x>0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C（1）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点

Question

如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=(k)/(x)（x>0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x₀，0），与y轴交于点C

（1）若b=y₁+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．
（2）探究证明x₁，x₂，x₀之间的关系．

Answer 1

（1）过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．

∵AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴BE∥AD∥y轴．
∵AB=BP，
∴DE=EP，
∴DP=DE+EP=2EP，AD=2BE，
∴y₁=2y₂．
∵x₁y₁=x₂y₂=k，即2x₁y₂=x₂y₂，
∴x₂=2x₁，
∴OE=2OD，
∴OD=DE=EP．
又∵点P的坐标为（6，0），
∴OP=6，x₁=(1)/(3)OP=2，x₂=(2)/(3)OP=4．
∵AD∥y轴，
∴△PAD∽△PCO，
∴(OC)/(AD)=(OP)/(DP)=(3)/(2)，
又∵b=y₁+1，
∴点C的坐标为（0，y₁+1），
∴(OC)/(AD)=(y1+1)/(y1)，
解得：y₁=2．
∴y₂=1．
故点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，1）．
（2）x₀=x₁+x₂．
证明：∵点A、B在反比例函数图象上，
∴y₁=(k)/(x1)，y₂=(k)/(x2)，
∵BE∥AD，
∴△PBE∽△PAD，
∴(PE)/(PD)=(BE)/(AD)，即(x0-x2)/(x0-x1)=(y2)/(y1)，
∴x₀=x₁+x₂．