在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若CE=1，AB=2，求三棱锥E-ACF的体积．

Question

在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（1）求证：DE∥平面ACF；
（2）若CE=1，AB=√(2)，求三棱锥E-ACF的体积．

Answer 1

（1）证明：连接OF．由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点．
又F为BE的中点，所以OF∥DE．
又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，
所以DE∥平面ACF；
（2）因为在△EBC中，BC⊥CE，F为BE的中点，CE=1，BC=√(2)，
所以S△CEF＝(1)/(2)S△BCE＝(1)/(2)×(1)/(2)×√(2)×1＝(√(2))/(4)．
又因为底面ABCD是正方形，EC⊥底面ABCD，
所以AB⊥BC，AB⊥CE，BC∩CE=C，
所以AB⊥平面BCE，
所以三棱锥E-ACF的体积VE−ACF＝VA−CEF＝(1)/(3)×S△CEF×AB＝(1)/(3)×(√(2))/(4)×√(2)＝(1)/(6)．