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在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点.(1)求证:DE∥平面ACF;(2)若CE=1,AB=2,求三棱锥E-ACF的体积.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d439b6003af33a87774389abc55c10385343b551.jpg)
(1)求证:DE∥平面ACF;
(2)若CE=1,AB=
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OF.由四边形ABCD是正方形可知,点O为BD中点.
又F为BE的中点,所以OF∥DE.
又OF⊂平面ACF,DE⊄平面ACF,
所以DE∥平面ACF;
(2)因为在△EBC中,BC⊥CE,F为BE的中点,CE=1,BC=
,
所以S△CEF=
S△BCE=
×
×
×1=
.
又因为底面ABCD是正方形,EC⊥底面ABCD,
所以AB⊥BC,AB⊥CE,BC∩CE=C,
所以AB⊥平面BCE,
所以三棱锥E-ACF的体积VE−ACF=VA−CEF=
×S△CEF×AB=
×
×
=
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac345982b2b7d0a2bde78d2cc8ef76094b369a51.jpg)
又F为BE的中点,所以OF∥DE.
又OF⊂平面ACF,DE⊄平面ACF,
所以DE∥平面ACF;
(2)因为在△EBC中,BC⊥CE,F为BE的中点,CE=1,BC=
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所以S△CEF=
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又因为底面ABCD是正方形,EC⊥底面ABCD,
所以AB⊥BC,AB⊥CE,BC∩CE=C,
所以AB⊥平面BCE,
所以三棱锥E-ACF的体积VE−ACF=VA−CEF=
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