（1）问题探究如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试

Question

（1）问题探究
如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD ₁ E ₁ 和正方形BCD ₂ E ₂ ，过点C
作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD ₁ 作D ₁ M⊥KH，D ₂ N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D ₁ M与线段D ₂ N的数量关系，并加以证明．
（2）拓展延伸
①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K ₁ H ₁ ，K ₂ H ₂ ，分别交直线AB于点H ₁ ，H ₂ ，使∠AH ₁ K ₁ =∠BH ₂ K ₂ =∠ACD ₁ ．作D ₁ M⊥K ₁ H ₁ ，D ₂ N⊥K ₂ H ₂ ，垂足分别为点M，N．D ₁ M=D ₂ N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D ₁ M=D ₂ N是否仍成立？（要求：在
图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）

Answer 1

（1）D ₁ M=D ₂ N。证明如下：
∵∠ACD ₁ =90°，∴∠ACH+∠D ₁ CK=180°﹣90°=90°。
∵∠AHK=∠ACD ₁ =90°，∴∠ACH+∠HAC=90°。
∴∠D ₁ CK=∠HAC。
在△ACH和△CD ₁ M中，∠D ₁ CK=∠HAC，∠AHC="∠C" M D ₁ =90°，AC="C" D ₁ ，
∴△ACH≌△CD ₁ M（AAS）。∴D ₁ M=CH。
同理可证D ₂ N=CH。
∴D ₁ M=D ₂ N。
（2）①D ₁ M=D ₂ N成立。证明如下：
过点C作CG⊥AB，垂足为点G，

∵∠H ₁ AC+∠ACH ₁ +∠AH ₁ C=180°，
∠D ₁ CM+∠ACH ₁ +∠ACD ₁ =180°，∠AH ₁ C=∠ACD ₁ ，
∴∠H ₁ AC=∠D ₁ CM。
在△ACG和△CD ₁ M中，∠H ₁ AC=∠D ₁ CM，∠AGC="∠C" M D ₁ =90°，AC="C" D ₁ ，
∴△ACG≌△CD ₁ M（AAS）。∴CG=D ₁ M。
同理可证CG=D ₂ N。
∴D ₁ M=D ₂ N。
②作图如下：

D ₁ M=D ₂ N还成立。

（1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D ₁ CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD ₁ M全等，根据全等三角形对应边相等可得D ₁ M=CH，同理可证D ₂ N=CH，从而得证。
（2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H ₁ AC=∠D ₁ CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD ₁ M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D ₁ M，同理可证CG=D ₂ N，从而得证。
②结论仍然成立，与①的证明方法相同。