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已知正方形ABCD(逆时针排列),顶点A(-2,1).B(1,0),求对角线方程
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已知正方形ABCD(逆时针排列),顶点A(-2,1).B(1,0),求对角线方程
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答案和解析
已知A(-2,1).B(1,0),设正方形两对角线交于点P,则:
直线AB的斜率k=(1-0)/(-2-1)=-1/3
由直线的点斜式方程得:
y-0=-1/3 *(x-1)
即x+3y-1=0
这就是直线AB的方程
所以线段AB的垂直平分线方程可写为3x-y+m=0
又易知线段AB中点坐标为M(-1/2,1/2),代入方程,解得:
m=-3*(-1/2)+1/2=2
线段AB的垂直平分线方程为3x-y+2=0
由于此垂直平分线过点P
故可设点P坐标为(a,3a+2)
则点P到直线AB:x+3y-1=0的距离:
d=| a+9a+6-1 |/√10=| 10a+5 |/√10
又正方形边长AB=√[(-2-1)² +(1-0)²]=√10
且易知点P到边AB的距离等于正方形边长的一半
所以| 10a+5 |/√10=√10/2
即| 10a+5 |=5
| 2a+1 |=1
解得a=0或a=-1(不合题意,舍去)
所以点P坐标为(0,2)
则对角线AP的斜率k(AP)=(2-1)/(0+2)=1/2
对角线BP的斜率k(BP)=(2-0)/(0-1)=-2
由于直线AP.BP均过点P(0,2),所以它们在y轴上的截距都是2
由直线的斜截式方程分别得到:
对角线AP的方程为:y=1/2 *x+2
对角线BP的方程为:y=-2x+2
直线AB的斜率k=(1-0)/(-2-1)=-1/3
由直线的点斜式方程得:
y-0=-1/3 *(x-1)
即x+3y-1=0
这就是直线AB的方程
所以线段AB的垂直平分线方程可写为3x-y+m=0
又易知线段AB中点坐标为M(-1/2,1/2),代入方程,解得:
m=-3*(-1/2)+1/2=2
线段AB的垂直平分线方程为3x-y+2=0
由于此垂直平分线过点P
故可设点P坐标为(a,3a+2)
则点P到直线AB:x+3y-1=0的距离:
d=| a+9a+6-1 |/√10=| 10a+5 |/√10
又正方形边长AB=√[(-2-1)² +(1-0)²]=√10
且易知点P到边AB的距离等于正方形边长的一半
所以| 10a+5 |/√10=√10/2
即| 10a+5 |=5
| 2a+1 |=1
解得a=0或a=-1(不合题意,舍去)
所以点P坐标为(0,2)
则对角线AP的斜率k(AP)=(2-1)/(0+2)=1/2
对角线BP的斜率k(BP)=(2-0)/(0-1)=-2
由于直线AP.BP均过点P(0,2),所以它们在y轴上的截距都是2
由直线的斜截式方程分别得到:
对角线AP的方程为:y=1/2 *x+2
对角线BP的方程为:y=-2x+2
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