如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．

Question

如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，
证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．

Answer 1

∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BAK=∠ABN=120°．
又∠AMK=∠C=60°，
∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠K，
∴∠K=∠BAM，
∴△ABK∽△BNA，
∴(AB)/(BN)＝(AK)/(AB)，
即AK•BN=AB²．
故线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．