如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AGGC=AFFE．

Question

如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：

（1）△ACE≌△BCD；
（2）(AG)/(GC)=(AF)/(FE)．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC

∠ACE=∠BCD

CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC=∠AEC，
在△GCD和△FCE中，

∠GCD=∠FCE=60°

CD=CE

∠BDC=∠AEC

，
∴△GCD≌△FCE（ASA），
∴CG=CF，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CGF=∠ACB=60°，
∴GF∥CE，
∴(AG)/(GC)=(AF)/(FE)．