一个三角形ABC,角A为60度,角B角C的角平分线分别交AB于D交AC于E两线交于点F连接D,E有五个选项,其中正...一个三角形ABC,角A为60度,角B角C的角平分线分别交AB于D交AC于E两线交于点F连接D,E有五个选

Question

一个三角形ABC,角A为60度,角B角C的角平分线分别交AB于D交AC于E两线交于点F连接D,E有五个选项,其中正...
一个三角形ABC,角A为60度,角B角C的角平分线分别交AB于D交AC于E两线交于点F连接D,E有五个选项,其中正确的有哪些?选项分别为1DE=BC的一半,2tan 角BFE=1/2,3角FDE＝角FED4点F到三个顶点的距离相等5BC=BE+CD

Answer 1

不知LZ有没有学过四点共圆,没有的话请点击参考资料了解一下性质,对证明有帮助.

我的答案：正确的有3 5

证明如下

连接AF,过F做FG交BC于点G使GC=DC

∵BD,CE为角平分线

∴F为△ABC的内心

∴AF平分∠BAC,∠EAF=∠DAF=1/2∠BAC=30°

∵∠BAC=60°

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°

∴∠FBC+∠FCB=1/2（∠ABC+∠ACB）=60°

∴∠EFD=∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=120°

∴∠BFE=60°,tan∠BFE=√3.（2）错误

∵∠BAC+∠EFD=60°+120°=180°

∴ADFE四点共圆

∴∠EDF=∠EAF=∠DAF=∠DEF=30°.（3）正确

  ∠FDC=∠AEF

∵DC=GC,∠DCF=∠FCG,CF=CF

∴△FDC≌△FGC

∴∠FGC=∠FDC=∠AEC

∴∠FGB=180°-∠FGC=180°-∠AEF=∠BEF

又∵∠FBG=∠FBE,BF=BF

∴△EFB≌△GFB

∴BE=BG

∴BE+DC=BG+GC=BC.（5）正确

（1）的错误可用作图来表示,在△ABC为正三角形时（1）是对的

下面用反证法来证明（4）的错误

若F到三个顶点的距离相等,则F为△ABC的外心

又∵F为△ABC的内心,∠BAC=60°

易证△ABC为正三角形,题设中没有说这是正三角形,故（4）是错的

注：这均为原创,是小弟一字一字打出来的,图也是,望LZ给分