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如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③AH+BD=AB;④S四边形ABDE=32S△ABP,其中正确的是(
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如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③AH+BD=AB;④S四边形ABDE=
S△ABP,其中正确的是( )
A.①③
B.①②④
C.①②③
D.②③
3 |
2 |
A.①③
B.①②④
C.①②③
D.②③
▼优质解答
答案和解析
在△ABC中,AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC,
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC,
∴∠BAD+∠ABE=
(∠A+∠B)=45°,
∴∠APB=135°,故①正确.
∴∠BPD=45°,
又∵PF⊥AD,
∴∠FPB=90°+45°=135°,
∴∠APB=∠FPB,
又∵∠ABP=∠FBP,
BP=BP,
∴△ABP≌△FBP,
∴∠BAP=∠BFP,AB=FB,PA=PF,故②正确.
在△APH和△FPD中,
∵∠APH=∠FPD=90°,
∠PAH=∠BAP=∠BFP,
PA=PF,
∴△APH≌△FPD,
∴AH=FD,
又∵AB=FB,
∴AB=FD+BD=AH+BD.故③正确.
∵△ABP≌△FBP,△APH≌△FPD,
∴S四边形ABDE=S△ABP+S△BDP+S△APH-S△EOH+S△DOP=S△ABP+S△ABP-S△EOH+S△DOP=2S△ABP-S△EOH+S△DOP≠
S△ABP.
故选C.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC,
∴∠BAD+∠ABE=
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∴∠APB=135°,故①正确.
∴∠BPD=45°,
又∵PF⊥AD,
∴∠FPB=90°+45°=135°,
∴∠APB=∠FPB,
又∵∠ABP=∠FBP,
BP=BP,
∴△ABP≌△FBP,
∴∠BAP=∠BFP,AB=FB,PA=PF,故②正确.
在△APH和△FPD中,
∵∠APH=∠FPD=90°,
∠PAH=∠BAP=∠BFP,
PA=PF,
∴△APH≌△FPD,
∴AH=FD,
又∵AB=FB,
∴AB=FD+BD=AH+BD.故③正确.
∵△ABP≌△FBP,△APH≌△FPD,
∴S四边形ABDE=S△ABP+S△BDP+S△APH-S△EOH+S△DOP=S△ABP+S△ABP-S△EOH+S△DOP=2S△ABP-S△EOH+S△DOP≠
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故选C.
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