大物抛体运动的微积分问题垂直上抛一个质点,到最高点后质点又做自由落体运动回到原点,这两个过程花费的时间哪个长,哪个短（有阻力f=kv）回答的完整追加二十分大哥们

Question

大物抛体运动的微积分问题
垂直上抛一个质点,到最高点后质点又做自由落体运动回到原点,这两个过程花费的时间哪个长,哪个短 （有阻力 f=kv）
回答的完整追加二十分
大哥们

Answer 1

上抛运动：ma=mg+f=mg+kv (1)
下落运动：ma=mg-f=mg-kv (2)
取路程s对时间t的函数,则有
上抛运动：v=ds/dt=s', a=-d²s/dt²=-s''；
下落运动：v=ds/dt=s', a=d²s/dt²=s''
上述两个方程变为：
上抛运动：s''+k/m*s'=-g (3)
下落运动：s''+k/m*s'=g (4)
这是典型的二阶常系数非齐次微分方程
对于方程(3),其齐次方程通解为s1=C1+C2e^(-kt/m)
易知s2=-mgt/k为其一个特解,故方程(3)的通解为
s(t)=s1+s2=C1+C2e^(-kt/m)-mgt/k (5)
v(t)=ds/dt=-k/m*C2e^(-kt/m)-mg/k (6)
设其初始条件为t=0, s=0, v=v0; 代入(5),(6)可解得
C1=(v0+mg/k)*(m/k), C2=(v0+mg/k)*(-m/k)
则上抛运动的方程为：s(t)=(v0+mg/k)*(m/k)*[1-e^(-kt/m)]-mgt/k (7)
v(t)=ds/dt=(v0+mg/k)e^(-kt/m)-mg/k (8)
对于方程(4),其齐次方程通解为s1=D1+D2e^(-kt/m)
特解为s2=mgt/k,故方程(4)的通解为
s(t)=s1+s2=D1+D2e^(-kt/m)+mgt/k (9)
v(t)=ds/dt=-k/m*D2e^(-kt/m)+mg/k (10)
设其初始条件为t=0, s=0, v=0; 代入(9),(10)可解得D1=-g(m/k)^2, D2=g(m/k)^2
则下落运动的方程为：s(t)=-g(m/k)^2*[1-e^(-kt/m)]+mgt/k (11)
v(t)=ds/dt=-mg/k*e^(-kt/m)+mg/k (12)
设上抛运动时间为t1,下落运动时间为t2,上抛高度为h
则对于上抛运动有：s(t1)=h=(v0+mg/k)*(m/k)*[1-e^(-kt1/m)]-mgt1/k (13)
v(t1)=0=(v0+mg/k)e^(-kt1/m)-mg/k (14)
对于下落运动有：s(t2)=-h=-g(m/k)^2*[1-e^(-kt2/m)]+mgt2/k (15)
由(13),(14)消去v0,可得 s(t1)=h=(mg/k)*e^(kt1/m)*(m/k)*[1-e^(-kt1/m)]-mgt1/k (16)
(15)与(16)相比较可得 (m/k)*[1-e^(-kt2/m)]-t2=-(m/k)*[1-e^(kt1/m)]-t1
∴ t1-t2=-(m/k)*{[1-e^(kt1/m)]+[1-e^(-kt2/m)]}=-(m/k)*{2-[e^(kt1/m)+e^(-kt2/m)]} (17)
对于(17)式,由于e^(kt1/m)>0, e^(-kt2/m)>0
∴有 [e^(kt1/m)+e^(-kt2/m)]>2,即有{2-[e^(kt1/m)+e^(-kt2/m)]}<0
又-(m/k)<0,∴有 t1-t2>0,即t1>t2
∴对于上述抛体运动,上抛的时间t1大于下落的时间t2