已知抛物线C:y=(x+1)^2与圆M:(x-1)^2+(y-1/2)^2=r^2有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离

Question

已知抛物线C:y=(x+1)^2与圆M:(x-1)^2+(y-1/2)^2=r^2有一个公共点A,
且在A处两曲线的切线为同一直线l 设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D 到l的距离

Answer 1

1）设A（n,（n＋1）＾2）,则l的斜率k1＝2n＋2,
AM的斜率k2＝［1／2－（n＋1）＾2］／（1－n）,
由l为圆的切线,所以k1＊k2＝－1,化简整理得：n（n＾2＋3n＋3）＝0
解得：n＝0,所以A(0,1),把A带入(x-1)^2+(y-1/2)^2=r^2得：r=√5/2
2）设C的一个切点Q（a,（a＋1）＾2）
从而此直线斜率k＝2a＋2,
把Q点带入解得：此直线的方程为：2(a＋1)x＋1－a＾2－y＝0
而此直线再与圆M相切,则圆心到直线的距离d=√5/2
由点到直线的距离公式：绝对值（2a＋5／2－a＾2）／√［1＋（2a＋2）＾2］=√5/2
两边平方再化简得：a＾2（a＾2－4a－5）＝0
从而解得a＝0,或a＝2－√10,或a＝2＋√10,其中a＝0时直线为l
把a＝2－√10,a＝2＋√10,分别带入直线方程：2(a＋1)x＋1－a＾2－y＝0
得：y＝2（2－√10）x－13＋4√10,
y＝2（2＋√10）x－13－4√10
联立上面两个方程解得；x＝2,y＝－1
即D(2,－1),由a＝0得l：2x＋1－y＝0
所以D到l的距离d＝绝对值［2＊2＋1－（－1）］／√（2＾2＋1）＝6√5/5