如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．（1）若BD2+CE2=DE2，则∠BAC的度数；（2）若∠ABC的平分线BF和边AC的垂直平分线EF相交于点F，过点F作FG垂直于BA的延长线

Question

如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．

（1）若BD²+CE²=DE²，则∠BAC的度数；
（2）若∠ABC的平分线BF和边AC的垂直平分线EF相交于点F，过点F作FG垂直于BA的延长线于点G．求证：BC-AB=2AG．

Answer 1

（1）如图1中，连接AD、AE．

∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴BD=DA，EA=EC，
∴∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，设∠DBA=∠DAB=x，∠EAC=∠C=y，
∵BD²+CE²=DE²，
∴AD²+AE²=DE²，
∴∠DAE=90°，
∴2x+90°+2y=180°，
∴x+y=45°，
∴∠BAC=x+y+90°=135°．

（2）证明：如图2中，连接AF，FC，作FM⊥CB于M，

∵BF平分∠CBA，FG⊥BA，FM⊥CB，
∴FG=FM（角平分线上的点到角的两边距离相等），
在Rt△BFG和Rt△BFM中，

BF=BF

FG=FM

∴Rt△BFG≌Rt△CFM，
∴BG=BM，
∵EF垂直平分线AC，
∴FA=FC（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
∵FG=FM，∠AFD=∠DMB=90°，
在Rt△AFG和Rt△CFM中，

FG=FM

FA=FC

，
∴Rt△AFG≌Rt△CFM，
∴CM=AG，
∵BC=BM+CM，BG=AB+AG，BG=BM，CM=AG，
∴BC=AB+2AG，
∴BC-AB=2AG．