如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=。（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积。

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8， AB=2DC= 。

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积。

Answer 1

（1）证明：在 中，由于 ， ， ， 所以 故 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 故平面 平面 。
（2）过 作 交 于O， 由于平面 平面 ， 所以 平面 因此 为四棱锥 的高， 又 是边长为4的等边三角形 因此 在底面四边形 中， ， ， 所以四边形 是梯形， 在 中，斜边 边上的高为 ， 此即为梯形 的高， 所以四边形 的面积为 故 。