已知圆C：（x-a2）2+（y-a）2=164（a∈R），则下列命题：①圆C上的点到（1，0）的最短距离的最小值为78；②圆C上有且只有一点P到点（18，0）的距离与到直线x=-38的距离相等；③已知A（38，0）

Question

已知圆C：（x-a²）²+（y-a）²=(1)/(64)（a∈R），则下列命题：
①圆C上的点到（1，0）的最短距离的最小值为(7)/(8)；
②圆C上有且只有一点P到点（(1)/(8)，0）的距离与到直线x=-(3)/(8)的距离相等；
③已知A（(3)/(8)，0），在圆C上有且只有一点P，使得以AP为直径的圆与直线x=(1)/(8)相切．
真命题的个数为（　　）

A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

对于①，动圆圆心与（1，0）的距离减去圆的半径为：
√((a2−1)2+a2)−(1)/(8)=√((a2−(1)/(2))2+(3)/(4))−(1)/(8)≥(√(3))/(2)−(1)/(8)≠(7)/(8)，
∴①不正确．
对于②，已知动圆C的圆心（a²，a）的轨迹方程为：y²=x，
∴动圆C构成的轨迹为夹在抛物线y²=x-(1)/(8)和抛物线y²=x+(1)/(8)之间的部分（包括边界），
抛物线y²=x+(1)/(8)是以点（(1)/(8)，0）为焦点以直线x=-(3)/(8)为准线的抛物线方程，∴圆C上有且只有一点P到点（(1)/(8)，0）的距离与到直线x=-(3)/(8)的距离相等；
这个点就是抛物线与x轴的交点．②正确．
对于③，A（(3)/(8)，0），在圆C上有且只有一点P，使得以AP为直径的圆与直线x=(1)/(8)相切．
动圆圆心与（(3)/(8)，0）的距离减去圆的半径为：
√((a2−(3)/(8))2+a2)−(1)/(8)=√((a2+(1)/(8))2+(8)/(64))−(1)/(8)≥(3)/(8)−(1)/(8)=(1)/(4)，当且仅当a=0时等号成立．
此时在圆C上有且只有一点P（(1)/(8)，0），使得以AP为直径的圆与直线x=(1)/(8)相切．③正确．
∴②③满足题意．
故选：C．