如图所示，底面积为300cm2的圆柱形水槽内盛有适量的水，把质量为1kg、高为12cm、横截面积为100cm2的柱形物块，用弹簧测力计悬挂后让其浸入水中的深度为2cm，弹簧测力计的测量范围为0～10N

Question

如图所示，底面积为300cm²的圆柱形水槽内盛有适量的水，把质量为1kg、高为12cm、横截面积为100cm²的柱形物块，用弹簧测力计悬挂后让其浸入水中的深度为2cm，弹簧测力计的测量范围为0～10N，在刻度尺上从0从10N之间的长度为8cm，取g=10N/kg，试求：

（1）此时弹簧测力计的示数；
（2）向水槽内至少注入多少千克水，弹簧测力计示数恰好为零？（柱形水槽容积足够大，以确保水不溢出）

Answer 1

（1）物体的重力：G=mg=1kg×10N/kg=10N；
物体在水中受到的浮力：F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×100×2×10^-6m³=2N；
物体受到的拉力、浮力与物体的重力平衡，
所以弹簧秤的示数（即拉力）：F=G-F_浮=10N-2N=8N；
（2）当物体所受的浮力与重力相等时，弹簧秤的示数为零，即此时：F_浮′=G=10N；
由阿基米德原理可得：
V_排′=(F浮′)/(ρ水g)=(10N)/(1.0×103kg/m3×10N/kg)=10^-3m³；
则物体的下底面与水面的距离为：
h=(V排′)/(S物)=(10-3m3)/(100×10-4m2)=0.1m；
所以物体在水中的深度增加了△h=0.1m-0.02m=0.08m；
在刻度尺上从0从10N之间的长度为8cm，所以弹簧缩短1cm受到的力：(10N)/(8cm)=(5)/(4)N/cm，
原来测力计的示数为8N，现在为0N，测力计示数减小了8N，
所以物体上升的高度（弹簧缩短的长度）：h′=(8N)/((5)/(4)N/cm)=6.4cm=0.064m，
所以水面上升的高度为：h_水=0.08m+0.064m=0.144m，
所以，加入水的体积：
V_水=S_容h_水-S_物×△h=300×10^-4m²×0.144m-100×10^-4m²×0.08m=3.52×10^-3m³，
由ρ=(m)/(V)可得，加入水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×3.52×10^-3m³=3.52kg．
答：（1）此时弹簧秤的示数为8N；
（2）向水槽内至少注入3.52kg的水弹簧测力计示数恰好为零．