早教吧作业答案频道 -->其他-->
已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,(1)求x∈[-2,0]时,f(x)的表达式;(2)证明f(x)是R上的奇函数.
题目详情
已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,
(1)求x∈[-2,0]时,f(x)的表达式;
(2)证明f(x)是R上的奇函数.
(1)求x∈[-2,0]时,f(x)的表达式;
(2)证明f(x)是R上的奇函数.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,
所以x∈[-2,0]时,x+2∈[0,2],
则f(x+2)=2(x+2)-(x+2)2
=-x2-2x,x∈[-2,0]
又f(x+2)=-f(x),
所以f(x)=x2+2x,x∈[-2,0].
(2)证明:由(1)知f(x)=x2+2x,x∈[-2,0],
则f(-x)=x2-2x,x∈[-2,0],
且f(x)=2x-x2,x∈[0,2],
所以f(-x)=-f(x),x∈[-2,2],
即f(x)在[-2,2]上是奇函数.
又f(x+2)=-f(x),x∈R,则f(x)=-f(x-2),x∈R,
所以f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),
亦即f(x)是以4为周期的函数,
故f(x)是R上的奇函数.
所以x∈[-2,0]时,x+2∈[0,2],
则f(x+2)=2(x+2)-(x+2)2
=-x2-2x,x∈[-2,0]
又f(x+2)=-f(x),
所以f(x)=x2+2x,x∈[-2,0].
(2)证明:由(1)知f(x)=x2+2x,x∈[-2,0],
则f(-x)=x2-2x,x∈[-2,0],
且f(x)=2x-x2,x∈[0,2],
所以f(-x)=-f(x),x∈[-2,2],
即f(x)在[-2,2]上是奇函数.
又f(x+2)=-f(x),x∈R,则f(x)=-f(x-2),x∈R,
所以f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),
亦即f(x)是以4为周期的函数,
故f(x)是R上的奇函数.
看了 已知f(x)是定义在实数集R...的网友还看了以下:
已知函数f(x)=x^2+2alnx,已知函数f(x)=x^2+2alnx若函数f(x)的图像在(2 2020-03-30 …
已知函数f(x)满足,对任意实数x都有,f(1+x)=f(1-x),f(3+x)=f(3-x)(1) 2020-03-31 …
已知定义在R上的f(x)为奇函数,有f(x-4)=-f(x),求周期因为-f(x)=f(-x)所以 2020-04-06 …
设函数f(x)的定义域为R,若有f(π/2)=0,f(π)=-1且对任意x1,x2都有:f(x1) 2020-04-12 …
已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4),x∈R(1)求函数图象的对称中心(2 2020-04-12 …
提先谢谢了,越快越好1.求下列函数的值:(1)已知f(x)=|x-2|分之x+1,求f(0),f( 2020-04-27 …
已知等式(x-1)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f,求:(1)a+b+c+d+e+f的 2020-04-27 …
1.求f(x)=x²-2x-3在下列区间上的值域①R②[-3,0]③[2,3]④[0,3]2.已知 2020-05-02 …
f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2],f(0)不等于,且存在非零常数c, 2020-05-14 …
1、已知函数f(x)的定义域是[0,1]。求f(x-2),f(x-1),f(2x-2)的定义域。变 2020-05-17 …