不等式证明当x＞1时,e^x＞ex.这个不等式,最好方法多一些,（可用拉格朗日中值定理的方法证明）

Question

不等式证明
当x＞1时,e^x＞ex.
这个不等式,最好方法多一些,（可用拉格朗日中值定理的方法证明）

Answer 1

方法一：
x＞1时,设f(t)＝e^t,t∈[1,x]
f(t)在[1,x]上连续,在(1,x)内可导,由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(1,x),使得f'(ξ)＝(e^x-e)/(x-1)
f'(t)＝e^t,所以(e^x-e)/(x-1)＝e^ξ
ξ＞1,所以(e^x-e)/(x-1)＞e,此即e^x＞ex
方法二：
设f(x)＝e^x-ex,x∈[1,+∞)
f(x)在[1,+∞)上连续,在(1,+∞)内可导,且f'(x)＝e^x－e＞0,所以f(x)在[1,+∞)上单调增加,所以x＞1时,f(x)＞f(1)＝0,所以e^x＞ex