设A是数域F上n阶幂等方阵,证:n维线性空间上Fn可分解为方程组AX=0及(A-E)X=0的解空间的直和加多一个条件A2(平方)=A

Question

设A是数域F上n阶幂等方阵,证:n维线性空间上Fn可分解为方程组AX=0及(A-E)X=0的解空间的直和
加多一个条件A2(平方)=A

Answer 1

记Ax=0的解空间是W1,（E--A)x=0的解空间是W2,
对任意的x位于Fn中,有x=Ax+(E--A）x,其中Ax=y满足（E--A)y=（E--A)Ax=Ax--A^2x=0,故Ax位于W2中,类似的,(E--A)x满足A（(E--A)x)=A--A^2x=0,故（E--A)x位于W1中,故Fn=W1+W2.下面证明是直和.
若x同时满足Ax=0和（E--A）x=0,则x=x--Ax=（E--A）x=0,于是W1+W2是直和.