已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2/3=1,过点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若三角形AF2B的面积为12根号2/7,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程

Question

已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2/3=1,过点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,
若三角形AF2B的面积为12根号2/7,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程

Answer 1

假设直线方程为y=k(x+1) 代入椭圆方程消去y得 ： （3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0 设A(x1,y1) B(x2,y2)
得到x1+x2=-8k²/3+4k² x1x2=4k²-12/3+4k² △AF2B面积公式=1/2*2*根号下[（x1+x2）²-4x1x2] 经过复杂运算得到k=±1
就将k=1代入直线方程（带k=-1是一样的） 得到方程 x-y+1=0 圆相切直线l那么圆心与他们切点的连线就是半径 并且是垂直l的 根据点F2（1,0）到线的距离公式 得到半径根号2 即圆的方程为(x-1)²+y²=2