如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx（m>0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B，点C不重合）．连接CB，CP．（

Question

如图，经过原点的抛物线y=-x²+2mx（m>0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B，点C不重合）．连接CB，CP．

（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当m>1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？
（3）当m>1时过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当m=3时，y=-x²+6x=-x（x-6）．
令y=0得：-x（x-6）=0，解得x=0或x=6，
∴点A的坐标为（6，0）．
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
∵B、C关于直线x=3对称，
∴BC=2×（3-1）=4．

（2）如图1所示：过点C作AH⊥x轴，垂足为H．

∵抛物线y=-x²+2mx的对称轴为x=m，
∴点B和点C直线x=m对称．
∵当x=1时，y=2m-1，
∴点B的坐标为（1，2m-1）．
∴PB=m-1．
∵点B与点C关于直线x=m对称，
∴C（2m-1，2m-1）．
∴BC=2m-2．
∴H（2m-1，0）．
∴AH=1，CH=2m-1．
∵∠ACH=∠PCB=90°，
∴∠ACH=∠BCP．
又∵∠AHC=∠PCB=90°，
∴△ACH∽△PCB．
∴(AH)/(CH)=(PB)/(BC)，即(1)/(2m-1)=(m-1)/(2(m-1))，
∴m=(3)/(2)．

（3）当m>1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1．
①若点E在x轴上时，如图2所示：

∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP．
在△BPC和△MEP中，

∠PBC=∠PME=90°

∠BPC=∠MEP

PC=EP

，
∴△BPC≌△MEP．
∴BC=PM．
∴2（m-1）=m，解得m=2，
∴E（2，0）．
若点E在y轴上，如图3所示：过点P作PN⊥y轴与点N．

∵∠EPC=90°，
∴∠EPB+∠BPC=90°．
∵∠NPE+∠EPB=90°，∠NEP=∠EPB，
∴∠BPC=∠EPN．
在△EPN和△CPB中，

∠BPC=∠EPN

∠PNE=∠PBC=90°

PE=PC

∴△BPC≌△NPE．
∴BP=NP=OM=1，
∴m-1=1，
∴m=2
∴E（0，4）．
综上所述，当m=2时，点E的坐标为（2，0）或（0，4）．