已知：如图，四边形ABCD中，DB⊥BC，DB平分∠ADC，点E为边CD的中点，AB⊥BE．（1）求证：BD2=AD•DC；（2）连结AE，当BD=BC时，求证：ABCE为平行四边形．

Question

已知：如图，四边形ABCD中，DB⊥BC，DB平分∠ADC，点E为边CD的中点，AB⊥BE．

（1）求证：BD²=AD•DC；
（2）连结AE，当BD=BC时，求证：ABCE为平行四边形．

Answer 1

（1）证明：∵DB⊥BC，点E为边CD的中点，
∴BE=DE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDE，
∴∠ADB=∠DBE，
∴AD∥BE，
∵AB⊥BE，
∴∠A=∠ABE=90°，
∵∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
∴△ADB∽△BDC，
∴(AD)/(BD)=(BD)/(CD)，
∴BD²=AD•DC；
（2） ∵BD=BC，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADE=90°，
∴四边形ADEB是矩形，
∴AB=DE，AE=BD，
∴AB=CE，AE=BC，
∴四边形ABCE为平行四边形．