如图，四边形OABC是边长为2的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O，A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND，BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（

Question

如图，四边形OABC是边长为2的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O，A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND，BM，设OP=t．

（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？请说明理由．当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．
（3）在（2）的结论下，若有一条以直线AB为对称轴，过C，M两点的抛物线，请思考，是否存在直线AB上一动点E，抛物线上一动点F，使得以点P，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足要求的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1中，过M作MG⊥OA于G，

∵CP⊥PM，
∴∠CPO+∠MPG=90°，
又∵CO⊥OA，
∴∠CPO+∠OCP=90°，
∴∠MPG=∠OCP，
在△OCP和△GPM中，

∠OCP=∠MPG

∠POC=∠MGP=90°

PC=PM

，
∴△OCP≌△GPM，
∴MG=OP=t，PG=OC=2
∴M（2+t，t）．

（2）∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴B（2，2），
∴直线OB的解析式为y=x，
又∵MN∥AO，
∴N（t，t），
∴MN=2，
∴MN的长度不随P的位置的变化而改变，
∵AB∥MG
∴△PAD∽△PMG，
∴(PA)/(PG)=(PD)/(PM)，
∴(2-t)/(2)=(AD)/(t)，
∴AD=(-t2+2t)/(2)，
∴BD=(t2-2t+4)/(2)，
∵BA⊥MN，
∴s=(1)/(2)•BD•MN=(1)/(2)•(t2-2t+4)/(2)•2=(1)/(2)（t-1）²+(3)/(2)，
∵(1)/(2)<0，
∴当t=1时，四边形BNDM的面积最小．

（3）如图2中，

由图象可知当点F的横坐标为0或4或2，
∴点F的坐标为（0，2）或（4，2）或（2，(2)/(3)）．