如图，抛物线y=-12x2+bx+3，与x轴交于点B（-2，0）和C，与y轴交于点A，点M在y轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）连结BM并延长，交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形

Question

如图，抛物线y=-(1)/(2)x²+bx+3，与x轴交于点B（-2，0）和C，与y轴交于点A，点M在y轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BM并延长，交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；
（3）连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．

Answer 1

（1）将点B（-2，0）代入抛物线的解析式y=-(1)/(2)x²+bx+3得
-(1)/(2)×（-2）²-2b+3=0，
∴b=(1)/(2)，
∴抛物线的解析式为y=-(1)/(2)x²+(1)/(2)x+3．

（2）如图1中，

∵抛物线的解析式为y=-(1)/(2)x²+(1)/(2)x+3，与x轴交于B（-2，0），A（3，0），C（0，3），
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵OM∥DE，
∴△BMO∽△BDE，
∵要使B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，
∴只要△BOM∽△AOC，设M（0，m），
∴(OM)/(OB)=(OA)/(OC)，
∴(|m|)/(2)=(3)/(3)，
∴m=±2，
∴点M的坐标为（2，0）或（-2，0）．

（3）如图2中，作AG⊥AC交x轴于G，BF⊥AG于F．

∵OA=OC，∠AOC=∠GAC=90°，
∴∠OAC=∠ACO=∠OAG=45°，
∵∠OMB+∠OAB=∠ACO=45°，
∴∠FAB=∠OMB，设M（n，0），
∵∠AFB=∠BOM=90°，
∴△AFB∽△MOB，
∴(OM)/(AF)=(OB)/(FB)，∵FB=(√(2))/(2)，AF=(5√(2))/(2)，OB=2，
∴(|n|)/((5√(2))/(2))=(2)/((√(2))/(2))，
∴n=±10，
∴点M的坐标为（0，10）或（0，-10）．