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设f（x）=3x3+x2|x|，则使f（n）（0）存在的最高阶数n为（）A．0B．1C．2D．3
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设f（x）=3x3+x2|x|，则使f（n）（0）存在的最高阶数n为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
A．0
B．1
C．2
D．3
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)＝
，
①首先考虑在x=0的一阶导数，
由于：f′−(0)＝
=
＝0，
而：f′+(0)＝
=
＝0，
∴f′-（0）=f′+（0）=0，
从而：f′（0）存在，
计算得：f′(x)＝
，
②考虑在x=0的二阶导数
由于：f″−(0)＝
=
＝0
而：f″+(0)＝
=
＝0
∴f″-（0）=f″+（0）=0，
从而：f″（0）存在，
计算得：f″(x)＝
，
③考虑在x=0处的三阶导数
由于：f″‘−(0)＝
=
＝24
而：f″′+(0)＝
=
＝12
∴f′″-（0）≠f′″+（0），
从而：f′″（0）不存在，
于是，n=2．
故选：C．
∵f(x)＝
|
①首先考虑在x=0的一阶导数，
由于：f′−(0)＝
| lim |
| x→0− |
| f(x)−f(0) |
| x |
| lim |
| x→0− |
| 2x3 |
| x |
而：f′+(0)＝
| lim |
| x→0+ |
| f(x)−f(0) |
| x |
| lim |
| x→0+ |
| 4x3 |
| x |
∴f′-（0）=f′+（0）=0，
从而：f′（0）存在，
计算得：f′(x)＝
|
②考虑在x=0的二阶导数
由于：f″−(0)＝
| lim |
| x→0− |
| f′(x)−f′(0) |
| x |
| lim |
| x→0− |
| 12x2 |
| x |
而：f″+(0)＝
| lim |
| x→0+ |
| f′(x)−f′(0) |
| x |
| lim |
| x→0+ |
| 6x2 |
| x |
∴f″-（0）=f″+（0）=0，
从而：f″（0）存在，
计算得：f″(x)＝
|
③考虑在x=0处的三阶导数
由于：f″‘−(0)＝
| lim |
| x→0− |
| f′’(x)−f′(0) |
| x |
| lim |
| x→0− |
| 24x |
| x |
而：f″′+(0)＝
| lim |
| x→0+ |
| f″(x)−f(0) |
| x |
| lim |
| x→0+ |
| 12x |
| x |
∴f′″-（0）≠f′″+（0），
从而：f′″（0）不存在，
于是，n=2．
故选：C．
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